Teoremi sulla composizione di limiti di funzioni

Somma di funzioni e limiti

Date due funzioni e un punto di accumulazione $x_0$ $$ f, g : A \to R\\ x_0 \in A \\ $$ Voglio dimostrare la relazione tra la funzione somma delle due e i loro limiti.

$$ \lim_{x\to x_0}f(x) = \alpha \\ \lim_{x\to x_0}g(x) = \beta \\ \lim_{x\to x_0}f(x)+g(x) = \alpha + \beta \\ $$

Dimostrazione $$ \forall \epsilon \gt 0; \\ \exists \delta^I; \forall x \in A^*(x_0, \delta^I) \rightarrow |f(x)-\alpha| \lt \epsilon \\ \exists \delta^{II}; \forall x \in A^*(x_0, \delta^{II}) \rightarrow |g(x)-\beta| \lt \epsilon \\ \delta = \begin{cases} \delta^I & \text{se} \delta^I \le \delta^{II} \\ \delta^{II} & \text{se} \delta^I \gt \delta^{II} \end{cases} \\ \forall x \in A^*(x_0, \delta) \rightarrow |f(x)-\alpha| \le |g(x)-\beta| \lt \epsilon \\ \text{Per via della diseguaglianza triangolare} \\ |f(x) - \alpha + g(x) -\beta| \le |f(x) - \alpha| + |g(x) - \beta| \lt 2\epsilon \\ $$

Prodotto di funzioni e limiti

Date due funzioni convergenti e un punto di accumulazione $x_0$ $$ f, g : A \to R\\ x_0 \in A \\ $$ Voglio dimostrare la relazione tra la funzione prodotto delle due e i loro limiti.

Per poter affrontare questa dimostrazione devo prima analizzare una caratteristica delle funzioni convergenti. Dato che la funzione $g(x)$ è convergente posso scrivere $$ \beta - \epsilon \lt g(x) \lt \beta + \epsilon\\ |g(x)| = |g(x)-\beta+\beta| \\ |g(x)| \le |\epsilon + \beta| \le \beta+1 = c \\ $$ Quindi se la funzione è convergente posso sempre trovare un intorno di un punto $x_0$ di accumulazione nella quale la funzione è limitata

$$ \lim_{x\to x_0}f(x) = \alpha \\ \lim_{x\to x_0}g(x) = \beta \\ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = \alpha\beta \Rightarrow \\ |f(x)g(x) -\alpha\beta| < \epsilon \\ \text {Vorrei potermi ricondurre a una disuguaglianza triangolare} \\ \text {Sommo e sottraggo } \alpha g(x) \\ |f(x)g(x) -\alpha\beta\ -\alpha g(x) + \alpha g(x)| \\ |g(x)(f(x) -\alpha) + \alpha(g(x) -\beta)|\\ \le |g(x)||f(x)-\alpha| + |\alpha||(g(x) -\beta| \\ \text {Data la definizione precedente di } c \\ \le c\epsilon+|\alpha|\epsilon \\ = (c+|\alpha|)\epsilon \\ $$

Essendo una costante positiva arbitraria ho dimostrato la mia tesi

Continuità delle funzioni polinomiali (Razionali Intere)

Grazie alle dimostrazioni precedenti posso dimostrare che ogni funzione polinomiale è continua.
Una funzione polinomiale è una composizione monmiali. Le possibili funzioni monomiali sono: \begin{cases} x \mapsto x & \text{ Continua}\\ x \mapsto c & \text{ Continua}\\ x \mapsto cx^n & \text{ Continua}\\ \end{cases} Di conseguenza una fonzione polinomiale che è una somma di funzioni polinomiali è di conseguenza continua.

Rapporto di funzioni e limiti

Date due funzioni e un punto di accumulazione $x_0$ $$ f, g : A \to R\\ x_0 \in A \\ $$ Voglio dimostrare la relazione tra la funzione rapporto delle due e i loro limiti.

$$ \lim_{x\to x_0}f(x) = \alpha \\ \lim_{x\to x_0}g(x) = \beta \ne 0 \\ \lim_{x\to x_0}f(x)/g(x) = \alpha/\beta \\ $$

Per farlo necessito prima di una proprieta delle funzioni convergenti.

Proprità di permanenza del segno

Data una funzione f(x) che converge a un limite diverso da 0.
Quando x tende ad un punto di accumulazione del dominio, per un opportuno intorno del punto la funzione manterrà lo stesso segno del limite.

$$ \lim_{x\to x_0}g(x) = \beta; \beta > 0 \Rightarrow \\ \beta - \epsilon \lt g(x) \lt \beta + \epsilon \\ \forall \epsilon \lt \beta/2 \Rightarrow \\ 0 \lt \beta/2 \lt \beta - \epsilon \lt g(x) \\ \text{CVD} $$

Dimostrazione

Per la proprietà precedente $1/g(x)$ è ben definito quindi voglio dimostrare che: $$ \frac{1}{g(x)} \to \frac1\beta \\ \left|\frac{1}{g(x)} - \frac1\beta \right| \lt \epsilon \\ \left|\frac{\beta + g(x)}{\beta g(x)} \right| \lt \epsilon \\ $$ Devo maggiorare la frazione, cioè maggiorare il numeratore e minorare il denominatore $$ \text{Numeratore: } |\beta - g(x)| \lt \epsilon \\ \text{Denominatore: } |\beta g(x)| \gt \beta^2/2 \\ \left|\frac{\beta + g(x)}{\beta g(x)} \right| \lt \frac{2\epsilon}{\beta^2} \text{ Quantità arbitraria}\\ $$ Di conseguenza posso riscrivere il rapporto come: $$ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac1{g(x)} \to \frac{\alpha}{\beta} $$ Quindi tutte le funzioni razionali fratte sono continue in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da 0

Funzione Reciproca e Limiti

Volendo analizare il limite nel seguente caso $$ \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}; \lim_{x\to x_0}f(x) = 0 $$ Se ho informazioni su segno di $f(x)$ nel insieme di interesse, per esempio $$ \forall x \in A^*(x_0, \delta); f(x) \gt 0 \Rightarrow \\ \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)} = +\infty \forall M \gt 0 \\ \frac1{f(x)} \gt M \\ \text{Posso passare ai reciproci perchè sò il segno di } f(x) \\ f(x) \lt \frac1M = \epsilon \\ $$

Volendo analizzare invece il caso in cui $f(x)\to \infty$ $$ \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}; \lim_{x\to x_0}f(x) = \infty \\ \left|\frac1{f(x)}\right| \lt \epsilon \\ \frac1{|f(x)|} \lt \epsilon \\ |f(x)| \gt \frac1{\epsilon} = M \\ $$